Mario Arguedas, profesor de Matemáticas jubilado.
En la Geometría Euclídea además del punto, la línea recta constituye un concepto primitivo y por lo tanto indefinido; de ella lo único que sabemos es que está formada por infinidad de puntos.
Sin embargo, hay un principio irrefutable: dados dos puntos en un plano, habrá una línea recta que pasará por ellos, o dicho de otro modo, que los contiene. Por ello se dice que dos puntos definen una recta.
En la Geometría analítica, donde el punto se define como un par ordenado de números (x, y), la línea recta también goza del beneficio de poder definirse; de esta forma ambos conceptos dejan de ser primitivos e indefinidos. Surge entonces la pregunta: ¿cómo definir a la línea recta?
En Geometría analítica la línea recta presenta la forma:
y = mx + b, (m y b números reales).
De esta manera se puede concluir que las siguientes ecuaciones representan líneas rectas:
y = -3x + 5 (m = -3, b = 5).
y = 2x (m = 2, b = 0).
y = -2 (m = 0, b = -2).
y = – 4 (m = , b = -4).
Al darle valores a la “x” obtendremos el correspondiente valor de “y” que establece que el punto (x, y) pertenece a la recta:
La ecuación y = mx + b además de hablarnos de una recta nos brinda información sobre el comportamiento que la recta presenta. El valor “m” nos indica si la recta es ascendente, descendente u horizontal, para ello es suficiente fijarse en su signo:
“m” positivo: ascendente; tal es el caso de y = 2x, o también de y = – 4.
“m” negativo: descendente; puede verse en y = -3x + 5.
“m” cero: horizontal; tal es el caso de y = -2, donde m = 0.
Como si fuese poco “m” nos señala el comportamiento de la pendiente, siendo la razón donde su numerador señala cuánto sube o baja en el “eje y”, mientras avanza en el “eje x” (visto en el denominador):
Esta es la razón por la cual a “m” se le conoce con el nombre de pendiente, pues constituye la razón de lo que se sube o baja mientras se avanza. Es por eso que dados dos puntos (x, y) y (x₁, y₁), la recta que los contiene tiene una pendiente: m =
Pero en la ecuación de la recta se puede encontrar más información sobre ella. Se puede observar que el valor “b” corresponde a la ordenada del punto donde la línea interseca al “eje y”, punto (0, b), por ello a “b” se le denomina “intersección”.
Además, igualando la ecuación a cero (y = 0), se puede determinar el valor de la abscisa donde la recta corta al “eje x” punto (x, 0).
0= mx + b, por lo tanto x =
Al cambiar el concepto de punto el conocimiento matemático se abrió con nuevas ideas. La recta quedó definida en la expresión “y = mx + b” donde (x, y) son las coordenadas de todo punto en ella. Resulta impresionante como dicha ecuación lineal, en su simpleza, contiene toda la información de la recta.
Por ejemplo, la recta y = -2,donde m = 0 y b = -2, describe a una recta paralela al “eje x” que interseca al “eje y” en el punto (0, -2); recta que, de ser necesario se puede proyectar en un sistema de coordenadas cartesianas. De esta manera ¡la geometría se transformó en álgebra!
