Funciones: Máquinas algebraicas (I)

Mario Arguedas, profesor de Matemáticas jubilado.

¿Ha entrado alguna vez a una empacadora de refrescos?

De manera resumida se puede explicar como un proceso donde en una banda transportadora se colocan hileras de botellas que mientras viajan pasan por una máquina que se encarga de llenarlas del líquido; luego viajan a otro artefacto que les coloca la tapa, después se trasladan a otro aparato encargado de pegar a cada botella la marca o referencias del producto, y por último otra máquina las empaca.

El proceso en si es una sucesión de acciones con máquinas que cuentan con un conjunto de elementos de entrada y otro conjunto que cuenta con los consecuentes elementos de salida, ambos conjuntos asociados por la acción que cada máquina realiza.

En matemática se presentan procesos que semejan el comportamiento de dichas máquinas, donde en lugar de botellas los elementos que ingresan son números y la máquina lo que hace es aplicar un procedimiento algebraico que depara en su salida un nuevo valor.

Pertinente es señalar que, a diferencia de las máquinas empacadoras, los conjuntos de entrada y salida de estos artefactos matemáticos está previamente definido (establecido). De esta manera un algoritmo provoca una relación entre dos conjuntos (entrada y salida) que será considerada como una función si cumple con los siguientes preceptos:

Todo elemento del conjunto entrada está asociado con uno del conjunto de salida.
Cada elemento de entrada está asociado a un único elemento del conjunto de salida.

La relación entre A y B constituye una función dado que cumple con los dos requisitos establecidos en la definición:

Todo elemento de entrada está asociado con uno de salida.
Cada elemento de entrada se asocia a un único elemento de salida.

En el campo de las funciones se utilizan los siguientes conceptos:

A las funciones se les denomina utilizando letras en minúsculas. Vamos a llamar a la función anterior con “h”.
A los elementos de entrada (que se identifican con “x”) se les llama “preimagen” y al conjunto que los contiene dominio.

En este caso A es el dominio de la función “h” y 0,3,6,9 y 12 son preimágenes de h.

A los elementos de salida(que se identifican con “y”) se les llama “imagen” y al conjunto que los contiene codominio.

En este caso B es el codominio de la función “h” y 5, 8, 11, 14 y 17 son imágenes de h.

Oportuno es destacar que:

No todo elemento del codominio es

Para el caso de la función h,Noson imágenes1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 19 y 20.

Lo anterior plantea la existencia de un tercer conjunto que se denomina ámbito de la función, formado por el subconjunto de imágenes del codominio.

Para el caso de la función “h”: Ámbito = {5, 8, 11, 14, 17}

Una función es una relación entre dos conjuntos y en lenguaje matemático (para el caso de la función “h”) se expresa de la siguiente manera:

SeaA = {0, 3, 6, 9, 12} y B = {0, 1, 2, 3, …, 20}

h: A B, tal que h(x) = x + 5

Lo cual se lee:

Sean A y B dos conjuntos, “h”la función con dominio A y codominio B,

donde la imagen de todo elemento “x” es dicho elemento aumentado en 5.

Con ello se puede iniciar un proceso de análisis propio del quehacer matemático. Veamos el siguiente caso:

No toda relación constituye una función y ello obedece esencialmente a dos razones puntuales:

Algún elemento del dominio (preimagen) no encuentra una imagen en el codominio, lo cual tiende a presentarse por un denominador cero o una raíz par negativa en el criterio de relación.
Algún elemento del dominio tenga más de una preimagen, que con frecuencia se presenta cuando la preimagen presenta un radical par.