Mario Arguedas, profesor de Matemáticas jubilado.
Una de las relaciones más provechosas de la Trigonometría, nos la ofrece el triángulo rectángulo y sus correspondientes ángulos internos. Para explicarla conviene primero señalar que los lados de un triángulo rectángulo tienen nombres especiales.
Los lados que dibujan el ángulo recto (opuestos a los ángulos internos agudos) se llaman catetosque significa caen en perpendicular, son los de menor tamaño y bien pueden ser congruentes (medir lo mismo). El tercer lado, opuesto al ángulo interno recto y por lo tanto el de mayor longitud, sellama hipotenusaque significa “fuertemente sujeta o tensa”.
Si se dibuja un triángulo rectángulo con medidas de los catetos 3cm y 4cm respectivamente y la hipotenusa de 5cm, podrá observarse que el ángulo interno A tendrá una abertura de aproximadamente 37° (36,87° para ser exactos), por lo tanto, el B tendrá una abertura aproximada de 53° (53,13° para ser exactos).
Si se incrementa el tamaño del triángulosin alterar la medida de las aberturas de sus ángulos internos, entonces los otros lados aumentarán proporcionalmente.Esto se puede hacer, por ejemplo, aumentando el tamaño de la base en sus múltiplos 4,8,12,16,…centímetros, El esquema brinda una idea sobre cómo hacerlo.
Al hacerlo las magnitudes de los triángulos obtenidas van siendo las siguientes:
Lo anterior pone en evidencia un comportamiento o forma interesante que matemáticamente se explica así: Si en un triángulo rectángulo se mantienen sin variar las aberturas de sus ángulos internos, al ampliarse dicho triángulo los lados aumentan proporcionalmente., es decirque, si establecemos “razones” entre las medidas de los lados, éstas forman una proporción.
Se observa que para un ángulo de aproximadamente 37°, la razón entre las medidas del cateto opuestoy la hipotenusasiempre es 0,6; independientemente del tamaño del triángulo.
A esta razón los matemáticos la denominan SENO.Para el caso que nos ocupa escribimos así:SEN 37° = 0,6 y expresa que, en un triángulo rectángulo con un ángulo interno de 37°, la razón,cateto opuesto sobre hipotenusa,siempre es 0,6 independientemente del tamaño del triángulo.
A esta razón los matemáticos la denominan COSENO. Para el caso que nos ocupa escribimos así: COS 37° = 0,8 y expresa que, en un triángulo rectángulo con un ángulo interno de 37°, la razón, cateto adyacente sobre hipotenusa,siempre es 0,8, independientemente del tamaño del triángulo.
A esta razón los matemáticos la denominan TANGENTE. Para el caso que nos ocupa escribimos así: TAN 37° = 0,75 y expresa que, en un triángulo rectángulo con un ángulo interno de 37°, la razón, cateto opuesto sobre cateto adyacente,siempre es 0,75 independientemente del tamaño del triángulo.
Esta condición tan especial se mantiene siempre y cuando los ángulos agudos internos no cambien el tamaño de su abertura, o no se cambie el ángulo dereferencia. En caso de que algunos de esos dos casos se presenten, las razones presentarán valores diferentes. Por ejemplo:
A dichas razones se les conoce como razones trigonométricas, donde el término seno expresa “curva, concavidad o bahía”,coseno significa que “acompaña al seno” y tangente “que toca”.
En todo polígono la abertura de los ángulos internos determina el tamaño de los correspondientes lados opuestos, eso implica que cada ángulo interno en un triángulo rectángulo esté asociado a un único valor en su razón trigonométrica, así por ejemplo el seno de 67° siempre será 0,92, independientemente del tamaño del triángulo.Por ello existen tablas que proyectan los valores correspondientes a las razones trigonométricas. La elaboración de dichas tablas fue una tarea laboriosa que se inicia con el astrónomo Hiparco de Nicea, siglo II a.c., continuada 300 años después por el también astrónomo Tolomeo, perfeccionada por astrónomos árabes en el siglo VII d.c., para luego ser llevada a occidente.
Sin embargo, dados los avances tecnológicos, hoy basta con marcar una tecla de una calculadora científica para conocer dichos valores.
Lo anterior plantea una forma o comportamiento que indica que, en un triángulo rectángulo, si se conoce la medida de un lado y la medida de la abertura de un ángulo interno, es posible determinar las medidas de los otros lados, aplicando las razones trigonométricas (seno, coseno o tangente) según corresponda.Estos procedimientos favorecen la medición de zonas u objetos muy distantes o de difícil acceso, pero ello será tema de un próximo artículo.
