Mario Arguedas, profesor de Matemáticas jubilado.
El escritor y pensador espiritual estadounidense Ricky Maye dice que las estrellas son cicatrices del universo. Toda explicación sobre el origen del universo referirá ineludiblemente a las estrellas, esas marcas indelebles de un proceso evolutivo que cada segundo transforma el conocimiento sobre el cosmos.
El estudio de dichas luciérnagas nocturnas inicia hace miles de años atrás, siendo uno de los primeros retos de la humanidad el determinar la distancia que les separa de nuestro planeta. ¿Cómo establecer la distancia Tierra-Estrella o Planeta? La Trigonometría dispone los recursos para hacerlo y por ello se convierte en tema de obligado análisis.
Etimológicamente Trigonometría significa la medición de los triángulos, es una de las ramas matemáticas más antiguas, por lo que en su estudio encontramos diversos criterios de añejas culturas como la egipcia (3050 al 31 A.C.) o la babilonia (aproximadamente 1792 al 539 A.C.), asociándose de manera indirecta con saberes como el cotejo del tiempo o la determinación del calendario, o de forma directa con la medición de las correspondientes medidas de los ángulos, todos estos saberes forjados en dichas culturas.
En la actualidad, se describe a la Trigonometría como la rama de la Matemática que estudia los triángulos o circunferencias y su relación con los ángulosy entre sus aplicaciones se encuentran las técnicas de triangulación empleadas en Astronomía para medir distancias a estrellas próximas, distancias entre puntos geográficos, o en sistemas globales de navegación por satélite.
El reloj trigonométrico
El principio de la Trigonometría se materializa en el concepto de ángulo, término proveniente del latín angulus, que significa esquina o rincón. Con visión didáctica, las manecillas de un reloj (que no tiene segundero) constituyen un excelente ejemplo de lo que es un ángulo.
Al estar formados por la unión de dos semirrectas de longitud infinita, los ángulos NO pueden medirse. Lo que sí es factible de medición es la abertura de sus lados.
Al ser las aberturas de los ángulos elementos de medición, entonces lo correcto es decir medida de la abertura del ángulo, o en su defecto, medida correspondiente al ángulo (porque a cada ángulo le corresponde una abertura).
El dilema que se presenta es ¿en qué parte de la abertura debe medirse?, o planteado de otra manera, ¿a qué distancia del vértice y de qué forma, debe medirse?
El dilema por resolver
Medir es, en esencia, asignar un número o valor a un ente u objeto, lo cual se hace por comparación con un elemento que se toma como unidad de medida, determinando cuántas veces cabe la unidad de medida (magnitud) en dicho ente u objeto.
El perímetro de un polígono, por ejemplo, toma una longitud (un segmento) y determina cuántas veces cabe dicho segmento en el polígono. Para medir el área o tamaño de una superficie poligonal, se toma una porción de superficie y se establece cuántas veces cabe en la superficie poligonal a medir.
Para que guarde validez, toda medida, en idénticas condiciones, debe ser única. Si un joven para ingresar a un salón de baile dice que tiene 18 años, pero en el registro de la escuela, el mismo día, se indica que su edad actual es 16 años, entonces se puede deducir que existe algún error, pues no puede tener dos edadesdiferentes el mismo día. Una medida cambia solo si se aumenta o reduce el objeto de medida o la unidad de medida.
Es claro que la abertura de un ángulo crece conforme se aleja del vértice, por lo tanto, la forma de medir la abertura de un ángulo tiene que cumplir con el requisito de asignarun único valor que sea a su vez independiente de dicha distancia.
La solución la ofrece el empleo decircunferencias como patrón de medida, con la salvedad de que su punto origen esté en el vértice del ángulo cuya abertura se desea medir. Veamos un ejemplo.
Esta forma de medir explica por qué cuando se dibuja un ángulo normalmente se le hace una curva en su interior, anotación que con frecuencia es considerada como el ángulo. Esto sería como confundir a una persona con su estatura.
El ángulo y la hora
Si tomamos un bloque de relojes de manecillas, de diferente tamaño, que estén marcando cada uno las tres en punto, entonces la porción de circunferencia que cubren sus aberturas es un arco equivalente a la cuarta parte de la circunferencia, en todos los casos, independientemente del tamaño del reloj.
Las porciones que abarca cada circunferencia son proporcionalmente iguales, aunque sus tamaños son diferentes. Es así como, si empleamos un reloj de manecillas como instrumento arbitrario de medición de las aberturas de los ángulos, en el momento que el reloj marca las 5, las manecillas dibujarán un ángulo con una abertura de 5 horas (para arcos de 1 hora) o de 25 minutos (para arcos de 1 minuto).
Por influencia de la cultura babilonia donde el sistema de numeración que empleaban fue el sexagesimal (base 60), las circunferencias empleadas como instrumento de medición de aberturas de ángulos presentan dos cualidades a destacar:
Si damos un giro a dicha circunferencia, buscando que el cero quede en la parte superior y los valores se lean hacia la derecha y establecemos una comparación con el reloj dividido en horas, podríamos indicar que cada arco de una hora contiene 30 arcos de un grado sexagesimal. Por lo tanto, la medida del ángulo que dibujan las manecillas del reloj a las cinco en punto se observaría así:
Luego la medida de la abertura del ángulo que dibujan las manecillas del reloj a las 5 es de 150°(150 grados sexagesimales). Esta acción de invertir valores se hizo para mostrar una equivalencia, pero en la práctica todavía se usa la estructura babilónica.
Algunas observaciones finales:
- Ninguna circunferencia mide 360 grados (360°). Recordemos que la circunferencia, como polígono, se mide en centímetros y es el producto (3,14 x d), donde “d” es la medida del correspondiente diámetro. Lo que mide 360 grados es la la circunferencia empleada como instrumento de medición de aberturas de ángulos, cuyo nombre es transportador.
- Como es de suponer, los comerciantes de la época se dieron a la tarea de elaborar circunferencias ya divididas en 360 arcos (transportadores) para facilitar las tareas a los consumidores necesitados de medir aberturas angulares de diversos tamaños. Por ello el transportador tiene forma circular.
- También se puede conjeturar que, por economía, lo que venden los comerciantes no es el transportador como tal, sino la mitad de él (semicírculo), pues muchas de las aberturas a medir en la práctica diaria comúnmente oscilan entre cero y ciento ochenta grados.
Las medidas que excedan a 180° se puede obtener por sobreimposición de la mitad del transportador en la parte restante.
- Todo transportador tiene una marca hacia el centro que indica el origen de la circunferencia, que es donde debe ubicarse el vértice del ángulo cuya abertura se desea medir. Así se valoraría un ángulo cuya correspondiente abertura fuese 150°.
Para medir, uno de los lados del ángulo se coloca marcando cero y el otro se hace girar hacia la izquierda buscando el valor correspondiente.
- Para mediciones a grandes distancias donde los arcos son de gran tamaño, surgió la necesidad de dividir el transportador en porciones más pequeñas. Es ahí donde emergen los minutos que son arcos de una sesentava parte del grado sexagesimal, y los segundos (una sesentava parte del minuto). A nivel escolar dichas unidades no son observables, por lo que se recomienda trabajar solo en grados.
- En la actualidad, dada nuestra cultura decimal, se promueve el empleo del grado centesimal o gon, – también llamado gradián (gradianes en plural) – equivalente a un arco que es la cuadringentésima parte de una circunferencia. Dicho de otro modo, el transportador se divide en 400 arcos (en lugar de 360). De esta manera un gon equivale aproximadamente a 1,11 grados sexagesimales.
